【当前热闻】陶哲轩攻克60年几何学难题,发现「周期性密铺猜想」在高维空间反例

2022-12-16 16:50:04来源:36氪

几何学中的「周期性密铺猜想」,被陶哲轩推翻了。


(资料图)

几年前,数学家证明了,无论你想出的密铺多么复杂或巧妙,如果只能对单个密铺使用平移,那么就不可能设计出一个只能非周期性地覆盖整个平面的密铺。

数学家们推测,这样结果也适用于高维空间。

这个假设被称为周期性密铺猜想

但现在,陶哲轩等人通过构造了一个可以非周期地填充高维空间,但不能周期性地填充高维空间的密铺,推翻了这个猜想。

论文地址:https://arxiv.org/abs/2211.15847

什么是周期性密铺猜想?

密铺问题,可以说是几何学中最古老,也是最经典的问题。

所谓「密铺」,即是指平面图形的镶嵌。

换句话说,就是用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接,使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。

在密铺问题中,用正方形、三角形或六边形去覆盖一片空间很容易。

但是,在1960年代,数学家Robert Berger发现了一组有趣的密铺,它们可以完全覆盖平面,但只能以永不重复的方式覆盖。

作为第一组非周期性密铺,它由20,426个平面图形组成。当然,Berger很快将其减少到104个。

在此之后,数学家们的努力方向就是:降低这个数字。

如今,最著名的就是Penrose在20世纪70年代发现的非周期性密铺,它只用两种图形就能覆盖一个平面:风筝和飞镖。

如何想出不重复的密铺呢?这并不难。

通过调整许多重复的周期性密铺,都可以做到。

比如,在一个形如棋盘排列的无限方格中,我们对每一行都进行移动,使其与上面一行有明显的偏移。

诀窍就在于,找到一组可以覆盖整个平面的镶嵌,只不过是用不重复的方式进行。

既然Penrose已经把密铺图形数量降到了两块,那么,有没有可能,有这么一块形状巧妙的图形,也可以组成密铺?

答案是肯定的,但前提是你可以对图形进行旋转和颠倒。

但如果规定:不允许旋转图形,那就不可能不留空隙。

在几年前,数学家Siddhartha Bhattacharya就证明了,无论我们想出多么复杂、多么微妙的密铺图形,但如果规定,只能使用单个密铺的位移或平移,那么就不可能设计出一个只能非周期性地覆盖整个平面的密铺。

也就是说,如果对一个形状在填充空间时施加足够的限制,就可以迫使一个周期性的模式出现。

论文地址:https://arxiv.org/abs/1602.05738

数学家推测,Bhattacharya的二维结果也适用于高维空间。

他们猜测:正如不存在非周期性二维图形一样,也不存在合适的三维(或更复杂)的图形,同理可以推广到任意大的维度之中。

这个假设被称为周期性密铺(periodic tiling)猜想。

这个猜想,被陶哲轩等人打破

但是他们错了。

在上个月发布的预印本中,陶哲轩和Rachel Greenfeld一同最终推翻了这个猜想。

「只要你有两块密铺,它们就可以组合成非常复杂的东西。」陶哲轩说

不同的是,他们用的却不是数学家们通常预期的方式。

他们的方式是:构建了一个可以非周期性填充高维空间,但不能周期性填充的密铺。

而对此,有其他数学家推断:他们的结论,在所有维度上,或许都是正确的。

数学家Mihalis Kolountzakis说:「这真是一个惊喜,我希望这个猜想在所有维度上都是正确的。不过,在足够高的维度上,只凭直觉的话,恐怕不会走得太远。」

陶哲轩等人的工作,不仅突破了几何上可能和不可能的界限,甚至还延申到了几何以外的问题——逻辑本身的极限。

2019年,Rachel Greenfeld以博士后研究员的身份,来到加州大学洛杉矶分校。

Rachel Greenfeld

此前,陶哲轩和她都一直在独立研究另一个与平移密铺(translational tilings)相关的问题。随后,两人将目光投向了周期性密铺猜想。

此前,这个猜想在一维和二维中已经为人所知,而他们试图在三维上证明这个猜想——如果可以移动某个形状的三维版本来密铺整个三维空间,那么,一定有一种方法,可以周期性地密铺整个三维空间。

陶哲轩和Rachel Greenfeld取得了一些进展,通过一些技巧,他们在二维中重新证明了这个猜想。

然而,当他们希望把同样的技巧应用于三维空间时,却碰壁了。

陶哲轩说:「在某些时候,我们感到很沮丧,所以不得不这样想:好吧,也许我们无法在更高维度上证明这个猜想,是有原因的。我们应该开始寻找反例。」

他们开始着手梳理所有非周期性领域的文献。

他们从历史上第一个文献开始——1964年出版的20,000多块密铺的集合,可以通过位移(translation)覆盖平面,但只是非周期性的。

从这里,他们开始着手新的技巧,来构建单个非周期性的密铺。

他们的思路是:改变环境。

如果想密铺一个二维空间,那么,与其尝试密铺一个连续平面,不如考虑密铺一个二维网格——也就是一个排列在网格中的无限点阵列。

可以将密铺定义为,该网格上的一组有限点。如果有一个合适的密铺,那么就可以通过复制有限的点集,并将它们四处滑动,来精确覆盖网格中的每个点。

证明高维网格的「离散」周期性密铺猜想,与证明这个猜想的连续版本略有不同,因为有些密铺在格子中是可能的,但在连续空间中是不可能的。

但是,这两个猜想是相关的。陶哲轩和Greenfeld希望提出一个离散的反例,随后再修改这个证明,让它适用于连续的情况。

在2021年夏天,他们终于逼近了目标——在一个超高维空间中,他们找到了两块密铺。

这两块密铺,可以填充它们所在的空间,但不是周期性的。

论文地址:https://arxiv.org/abs/2108.07902

「这还不够,」Greenfeld说。「二者非常接近,但两块密铺比一块密铺更不牢固,刚性要差得多。」

他们还需要一年半的时间,才能为周期性密铺猜想,构建出一个真正的反例。

密铺三明治

他们从创建一种新语言开始——把要解决的问题,以一种特殊的方程式重写出来。

他们需要解决的,就是这个方程式中的未知「变量」,它们代表了密铺高维空间的所有可能方式。

「但是,其实你很难用一个方程式来描述事物,」陶哲轩说。「有时,你需要多个方程,来描述一个非常复杂的空间集合。」

因此,陶哲轩和Greenfeld重新构建了他们试图解决的问题。

他们意识到,可以改为设计一个方程组,其中每个方程都会对其解编码有不同的约束。

这样,他们就可以将问题分解为一个关于许多不同密铺的问题——在这个例子中,所有密铺都使用同一组位移(translation)覆盖给定空间。

例如,在二维空间中,可以通过向上、向下、向左或向右滑动一个正方形来密铺平面,一次一个单位。

但是其他形状也可以使用完全相同的一组位移来密铺平面:例如,一个正方形的右边缘添加了一个凸起,左边缘被移除,就像拼图一样。

如果我们用一个正方形、一块拼图和其他使用同一组位移的图块,像三明治中的冷切一样,将它们堆叠在一起,就可以构建出一个使用单组平移覆盖三维的图块空间。

而陶哲轩和Greenfeld,需要在更多维度上做到这一点。

「因为无论如何,我们都是在高维度上工作,所以增加一个维度,对我们也没有什么坏的影响,」陶哲轩说。

相反,增加一个维度,为他们提供了额外的灵活性。

陶哲轩根据儿童玩具研究密铺排列

他们试图扭转这种三 明治的构建过程,将单方程、高维密铺问题,重写为一系列较低维度的密铺方程。

这些方程式,就决定了之后的高维密铺结构的样子。

就如之前陶哲轩所说: 「只要你有两块密铺,它们就可以组合成非常复杂的东西。 」

陶哲轩和Greenfeld将方程式系统视为计算机程序: 每一行代码或方程式都是一个命令,这些命令组合起来,就可以生成实现特定目标的程序。

陶哲轩表示:「逻辑电路是由非常基本的对象组成的,这些与门和或门,单看都不是很有趣。」

「但你可以将它们堆叠在一起,制作出一个可以绘制正弦波,或者在互联网上通信的电路。 」

「所以,我们开始将这个问题,视为一种编程问题。 」

每个命令,都是他们的最终密铺需要满足的不同属性,因此,整个程序需要保证,符合所有标准的任何密铺,必须是非周期性的。

这样,问题就变成了:在所有密铺方程中,需要编码什么样的属性,才能实现这一点?

例如,三明治的一层中的一块密铺的形状,可能只允许某些类型的运动。

陶哲轩和Greenfeld必须仔细地建立约束列表——这样它就不会严格到排除任何解决方案,但是足以给出足够的限制,来排除所有周期性的解决方案。

「游戏的关键是,要构建正确的约束级别,以编码正确的谜题。」Greenfeld说。

无限数独

陶哲轩和Greenfeld希望,用他们的密铺方程编程的拼图,是一个具有无限行数和大量和有限列的网格。

对两人来说,这是一个巨大的数独谜题:用特定的数字序列填充拼图的每一行和对角线,这些数字序列对应于他们可以用密铺方程描述的各种限制。

然后,两人发现了非周期性的序列——这意味着相关密铺方程组的解也是非周期性的。

「这个谜题基本上只有一个解。有趣的是,这是一个概周期解(almost periodic),」陶哲轩说。「我们花了很长时间才发现这一点。」

英属哥伦比亚大学的数学家Izabella Łaba说:「概周期函数并非数学中的新概念,但这确实是概周期函数的创新用法。」

正如Iosevich所说,陶哲轩和Greenfeld「创造了一个基础物体,并将其抬高到一个极其复杂的境界。」

根据概周期函数,陶哲轩和Greenfeld在离散场景和连续场景中构建了一个高维非周期性平面图形。

设计的平面图形十分复杂,充满曲折和孔洞,以至于几乎没有密铺空间。

陶哲轩和Greenfeld没有计算它所居住的空间的维度。他们只知道它很大,大约有2的100次方的100次方(或者3后面跟199个零)那么大!

「我们的证明是建设性的,所以一切都是明确的和可计算的,」Greenfeld说。「但是因为它离最佳状态非常非常远,所以我们并没有进行验证。」

二人认为可以在更低维度找到非周期性平面图形,这是因为她们的建构中,一些更具技术性的部分需要在概念上「非常接近二维」的空间中完成。

她不认为他们会找到一个三维平面图形,但她说四维图形可能存在。因此,Iosevich说,他们不仅反驳了周期性密铺猜想,还「以最打脸的方式做到了这一点。」

下一步:尝试不完备理论

陶哲轩和Greenfeld的研究,为构建非周期性密铺提供了新方法,二人认为该方法可以用于反驳其他密铺相关的猜想。

这项工作不仅触及了人类直觉,还涉及数学推理的边界。

上世纪30年代,数学家库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)提出了著名的哥德尔不完备理论。

哥德尔提出,自然数系统内「自洽性」和「完备性」不可兼得:有些命题在该系统中既不能被证明也不能被证伪。只能放弃一个,保全另一个,有点鱼和熊掌不可兼得的意思。

同样,数学有许多计算上不可解的问题,即任何算法在有限的时间内都无法解决的问题。

数学家在1960年代发现,关于密铺的问题也可能是不可解的。

也就是说,对于某些图形集,人们可以证明在有限的时间内,不可能弄清楚它们是否能完成密铺。

「这是一个非常简单的问题,但仍然超出了数学的范围,」耶鲁大学数学家Richard Kenyon说。「这不是第一个出现某种数学理论不可解或不完备的例子,但它确实是最接地气的理论。」

去年,陶哲轩和Greenfeld发现,关于高维密铺对的一般命题是不可解的:他们证明了没有人能够确定平面图形是否可以实现密铺(无论是周期性的还是非周期性的)。

关于单个平面图形的命题是否也是不可解的呢?

自1960年代以来,人们就知道,如果周期性密铺猜想成立,那么人们可以确定任何给定的图形是否能实现密铺。

但反之则不一定如此。仅仅因为存在非周期性的图形,并不意味着该问题不可解。

这就是陶哲轩和Greenfeld接下来想要弄清楚的问题。

陶哲轩说:「我们认为,我们创造的语言应该能够创造一个无法确定的难题,这是非常合理的。因此,可能有一些密铺,我们永远无法证明它是密铺空间或非密铺空间。」

为了证明一个命题不可解,数学家通常会证明它等同于另一个已知不可解的命题。

因此,如果这个密铺问题也被证明是不可解的,那么它可以作为证明其他命题的参考工具——这个意义远远超出了密铺的范畴。

与此同时,陶哲轩和Greenfeld的结果在某种程度上是对科研人员的提醒。

「数学家喜欢简洁大气的命题,」Iosevich说。

「但遗憾的是,并不是所有有趣的数学命题都能做到这一点。更多时候,需要我们的研究才能出现期待的效果。」

参考资料

https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/

https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/

https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%86%E9%93%BA/5106336

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